karnaugh

Concepto

Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificacide de circuito logico .

Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método.

Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables.

Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1".

Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.

F = A B C + A B C + A BC + A B C + A B C + A B C

Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh.

Este mapa tiene 8 casillas que corresponden a 2ⁿ, donde n = 3 (número de variables (A, B, C))

La primera fila corresponde a A = 0
La segunda fila corresponde a A = 1
La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0)
La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1)
La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1)
La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)

En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores de F = "1" en la tabla de verdad.

Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh.

Para proceder con la simplificación, se crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de 2).

Los "1"s deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más "1"s tenga el grupo, mejor.

La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos con el mayor número de "1"s en cada grupo

Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se permite compartir casillas entre los grupos).

La nueva expresión de la función boolena simplificada se deduce del mapa de Karnaugh.

- Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los "1"s de la tercera y cuarta columna) corresponden a B sin negar)
- Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los "1"s están en la fila inferior que corresponde a A sin negar)

Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B

Ejemplo:

Una tabla de verdad como la de la derecha da la siguiente función booleana:

F = ABC + AB C + A B C + A B C

Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando F = "1"

Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno.

Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se observa que hay una casilla que es compartida por los tres grupos.

La función simplificada es:

F = AB + A C + B C

Grupo en azul: AB, grupo marrón:AC, grupo verde:BC

video
www.youtube.com/watch?v=DwdyHY3-nGs

Canonico

Canonica







Ejemplo 1. Exprese la siguiente función como una suma de minterminos:

				_
F	=	X	+	Y	Z

Hay dos formas de resolver este problema.

Forma 1. Se puede obtener la tabla de verdad de la expresión y entonces tomar los minterminos.

X Y Z F = X + Y Z minterminos 0 0 0 0 0 0 1 1 X Y Z 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 X Y Z 1 0 1 1 X Y Z 1 1 0 1 X Y Z 1 1 1 1 X Y Z

Se evalúa la función para todas las combinaciones y se toman los minterminos de la tabla para los cuales la función vale 1. _ _ _ _ _ _ La respuesta es :F = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z Otra notación que podemos utilizar es: F = m(1, 4,5,6,7) que quiere decir la sumatoria de los minterminos 1,4,5,6,7

Forma 2. Aplicando los teoremas de expansión canónica para las variables faltantes.

_

X

+

Y

Z

_

_

_

_

X

(

Y

+

Y

)

(

Z

+

Z

)

+

Y

Z

(

X

+

X

)

_

_

_

_

_

(

X

Y

+

X

Y

)

(

Z

+

Z

)

+

Y

Z

X

+

Y

Z

X

_

_

_

_

_

_

_

X

Y

Z

+

X

Y

Z

+

X

Y

Z

+

X

Y

Z

+

X

Y

Z

+

X

Y

Z

_

_

_

_

_

_

X

Y

Z

+

X

Y

Z

+

X

Y

Z

+

X

Y

Z

+

X

Y

Z

Ejemplo 2. Exprese la siguiente función como un producto de maxterminos:

				_
F	=	X	+	Y	Z

De nuevo, se puede resolver construyendo una tabla de verdad o con manipulación algebraica.

Forma 1. Se obtiene la tabla de verdad de la función. Tomando los maxterminos desde la tabla de verdad, la respuesta es:

X Y Z F = X + Y Z maxterminos 0 0 0 0 ( X + Y + Z ) 0 0 1 1 0 1 0 0 ( X + Y + Z ) 0 1 1 0 ( X + Y + Z ) 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Se evalúa la función para todas las combinaciones y se toman los maxtermino de la tabla para los cuales la función vale 0. _ _ _ La respuesta es: F = ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) Otra notación que podemos utilizar es: F = M(0,2,3) que quiere decir el producto de los maxterminos 0,2,3

Forma 2. Aplicando el teorema de expansión canónica.

_

X

+

Y

Z

_

(

X

+

Y

)

(

X

+

Z

)

_

_

_

(

X

+

Y

+

Z

Z

)

(X

+

Z

+

Y

Y

)

_

_

_

_

(

X

+

Y

+

Z

)

(

X

+

Y

+

Z

)

(

X

+

Z

+

Y

)

(

X

+

Z

+

Y

)

_

_

_

_

(

X

+

Y

+

Z

)

(

X

+

Y

+

Z

)

(

X

+

Y

+

Z

)

(

X

+

Y

+

Z

)

_

_

_

(

X

+

Y

+

Z

)

(

X

+

Y

+

Z

)

(

X

+

Y

+

Z

)

_

_

_

(

X

+

Y

+

Z

)

(

X

+

Y

+

Z

)

(

X

+

Y

+

Z

)

Algebra de boole

ejercicio resuelto con problema de simplificacion

Cualquier expresión lógica puede ser transformada a una expresión suma de productos, aplicando el Álgebra de Boole.

A(B+ CD) = AB + ACD(A + B)(B + C + D) = AB + AC + AD + BB + BC + BD(A + B) + C = (A + B)C= (A + B)C= AC + BC



video http://www.youtube.com/watch?v=zFACpImzt_4

a

TABLA DE VERDAD EXPRESIONES LOGICA

Por tabla de verdad

La tabla de verdad es un intrumento utilizado para la simplificación de circuitos digitales a través de su ecuación booleana.
Las tablas de verdad pueden tener muchas columnas, pero todas las tablas funcionan de igual forma.
Hay siempre una columna de salida que representa el resultado de todas las posibles combinaciones de las entradas.
EJERCICIO
F=A+B

Símbolo lógico para la ecuación S =A + B + C.

Tabla de la verdad de la ecuación S= I .C

COMPUERTAS LÓGICAS DIGITALES.

Nombre	Símbolo Gráfico	Función Algebraica	Tabla de Verdad
AND		F = X Y	X Y F 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
OR		F = X + Y	X Y F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
INVERSOR		F = X'	X F 0 1 1 0
NAND		F = (X Y)'	X Y F 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
NOR		F = (X + Y)'	X Y F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
XOR		F = X' Y + X Y'	X Y F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
XNOR		F = X Y + X' Y'	X Y F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

http://www.youtube.com/watch?v=bB7bnSGmcs8&feature=related